南明数学课程：让儿童创造数学
王志江
1972年出生，籍贯湖北，现任南明教育集团总校长、数学课程开发项目负责人，曾任北京市丰台区丰台第二中学校长，北京市数学特级教师，华中师范大学数学教育学士，新加坡南洋理工大学教育管理硕士，首都师范大学教育哲学博士，首都师范大学全日制教育硕士特聘导师。
（一）“创造数学，发明数学”的缘起
1、2、3……，点、线、面……，这些都是最基础、最常见的代数符号和几何概念，一旦提及数学学习，没人能够绕过它们。但是，除了少数具有哲学倾向的数学家之外，几乎没有人会思考：它们来自哪里？它们是由人类的心灵或大脑创造出来的呢，还是人类从客观自然世界的某个犄角旮旯里偶然发现的呢？兹事体大，至今尚无定论。不过，这并不影响人类世世代代去研究数学，学习数学，数学大厦因此而愈发气势恢宏，而其本身也作为一种思维习惯和文化气息渗透到人类生活的每一寸“肌肤”。教师或父母在批评一个不太善于思考的儿童时，往往会说：知其然，而不知其所以然。大意是说：面对一个问题，儿童虽然会依照某个程序解答出结果，但是，儿童并不知道他这样做的背后理由和逻辑。应该说，这种批评是人类对自身认知活动之局限性的无意识的焦虑和某种基于理性的隐秘之渴望的综合反映。事情的真相是：不管是儿童，还是成人，在一个真实的生活情景中，我们总是先知道“怎么做”，然后才有可能去反思“为什么要这样做”；相反，必须明确“做的理由和逻辑”之后才去做，简直是一种对“理性精神”近乎病态的片面追求和推崇！一个儿童总是先学会了加法运算，然后才有可能理解加法算理和运算律；我们会迈开双腿走路，或者会娴熟地使用筷子，但是，我们甚至终生都不知道“为什么要这样走（或用）”；如果必须首先弄清楚“走路的道理”之后才能去练习走路，结果势必非常悲催，甚至是残酷，因为，我们绝大多数人可能因此而“终生残疾”！
这其实表明：不知道1、2、3和点、线、面的“本质”就开始学习算术和初等几何，不仅不是什么“罪过”，反而是极其“合理”的历史事实，因为，它至少是高度符合人类自身的认知和生活习惯的。不过，立于宇宙进化最顶端的“人类”，其不同于万物之处恰恰在于：一方面，时时刻刻，人类总是生活于“习惯”之中，并依据“习惯”做出绝大多数的决断或选择；但是，另一方面，人类也无时无刻不在尝试突破和超越自身已有的“习惯”，从而试图为自身的存在创造更加美好的未来。举个简单的例子来说吧，一百年前的人类通过一个十字路口时，习惯于通过目测评估风险的大小，并进而选择“通过”或“等待”；之所以会形成这样的习惯，是因为当时造成“风险”的因素一般都是“低速”和“低密度”的，如偶尔经过的牛车或者马车。而在今天，当一个人需要通过繁华的十字路口时，他就需要遵守“新习惯”：红灯停，绿灯行。这是因为，今天造成风险的因素不仅密度大，而且速度快，仅仅依靠“目测”是无法准确评估风险的，所以，新的交通规则就必须代替“旧习惯”，成为“新习惯”。未来某一天，当汽车不仅不需要人力驾驶，而且还可以在“天上飞”的时候，城市交通就会从平面变成立体、从人工变为人工智能，“红灯停，绿灯行”的老习惯显然也就过时了。
这些变化对于数学学习是具有重要启发意义的：过去的习惯总是有它的“合理性”，它总是当时的人类在特定生存境域中的“最优抉择”；但是，突破和超越“旧习惯”也同样是人之为人的“最优抉择”。在农业时代，普通人的日常生活并不需要太多的数学知识，学会珠算，就能成为“账房先生”，基本上也就一生衣食无忧了；数学知识由于远离普通大众，使得它享有了某种“仙气”，学习并拥有一点数学知识已经是非常难能可贵的事了，谁会没事找事地追问“为什么要这样做”的问题呢？不追问这样的问题，又怎么可能追问“1、2、3或点、线、面的本质是什么”的问题呢？这显然已经远远超出了绝大多数人的认知和思考范围了。在工业时代，特别是欧洲文艺复兴和理性启蒙之后的时代，科学知识一夜之间仿如雨后春笋一般疯狂地拔节生长，过去拥有娴熟的农业技艺而没有“书本知识”的人成了“文盲”，工厂和工业取代了土地和农业，成为人类生存的“风向标”；流水线追求的不再是悠闲的田园牧歌，而是高效准确的技术操作，课本上的知识，特别是程序性的操作知识在人类历史上第一次拥有了强大的“显性价值”；人类的特异禀赋在于：一旦它开始聚焦“怎么做的程序”，也就必然同步开始思考“为什么要这么做的理由”，因为，这样的思考势必会调整和改善程序，从而使其更为科学和高效。不过，当人类聚焦于“科学和高效”时，它仍然与“1、2、3或点、线、面的本质是什么”这样的问题处于绝缘的状态，因为思考这些本质性的问题，不仅不能马上带来“科学和高效”，而且会直接导致“相反的方向”——陷入虚幻的、不切“实际”的空想之中。不过，随着两次世界大战、法西斯主义、核弹威胁、科学技术对自然环境的“杀戮”、原教旨主义等问题的涌现，人类的良知终于开始反省：科学与高效真的是至高无上的吗？科学知识的量的积累真得是第一位的吗？当人类在科学与技术的大道上狂飙突进时，人类又该怎样认识和安放自己的灵魂呢？我们活着或者生命的意义到底是什么呢？我们该以怎样的姿态去面对那个人人都无法回避的终结——死亡呢？……其实，只要人类不再把知识的“量”作为唯一追求的目标时，它就必然会思及知识的“质”。以历史的视角来看，这必然会涉及到唯物主义与唯心主义、经验论与唯理论的问题，如果直接跨过这些历史的“沟沟坎坎”，就必然会聚焦：数学是怎样被人类发明、创造出来的呢？这就是当前西方发达国家基于后现代课程观的数学教育的最新哲思。然而，我们是否也需要同步聚焦这个教育难题呢？的确，与西方发达国家相比，我们很难清晰地界定我们当下所生活的这个时代，它几乎是一个由前工业时代（农业）、工业时代和后工业时代共同构成的“混合时代”。但是，你，我，他，成人，以及儿童，无论是谁，大家都必须走向未来，所以，一切值得思考的问题，我们也都必须勇敢地去面对！
对于基础数学教育而言，我们需要共同面对的最核心的问题就是：如何引导儿童发明数学、创造数学。不过，在追问这个核心问题之前，我们需要先行追问：远古人类是如何“创造数学、发明数学”的呢？因为，我们总是从远古走来，并且必将成为未来的远古。
（二）远古人类是如何“创造数学，发明数学”的？
我常常思考：远古人类是怎样创造数学、发明数学的呢？这的确是一个非常迷人的问题，因为，一方面，我们都是从远古走来的（依进化论的说法，今天的人类由远古人类进化而来），我们的基因与远古人类的基因有着某种隐秘的关联；另一方面，我们所生活的时代与远古人类的时代显然有着天壤之别，他们几乎被纯粹的自然世界所包围，而文化符号系统却几乎是一片空白；我们（特别是都市中的居民）却时时刻刻都被各种或隐或显的文化符号系统所包围、缠绕和控制，而对自然世界的陌生感却与日俱增。理论上，我们完全可以做一个大胆的假设，即：把当下一切可以影响我们的文化符号系统（各种习俗、规则、信念、教材，包括各种书籍等）全部装进一个“魔箱”，并打蜡密封，置于一个谁也无法找到的隐秘之地，总之，就是让当下的文化系统——我们拥有而远古人类却不曾拥有——对我们而言是“完全无效”的，我们“真实”的生活在一个部落中，用最真切、最直接的方式与自然世界和部落中相依为命的伙伴们生活在一起，在漫长的岁月中，为了更好的生存，“我们”创造着数学，发明着数学……这一切当然都不是“真的”，不过，它也许比“真的”更好玩，它是一场充满想象力的旅程，是纯粹智者的游戏……好吧，让我们开始吧——
大约在三十万年以前，“我们”的部落生活在一个不知名的洞穴之中。为了打到更多的猎物和收集到更多可以果腹的野果，“我们”学会了制作简易的工具；为了抵御漫长的黑夜和各种野兽的威胁，“我们”学会了燧石取火……不过，学会区分数量的“多”与“少”是一个漫长而艰辛的过程。有一次，部落集体外出狩猎，太阳下山时，大家准备回到洞穴，却发现五只狮子闯进了“我们的家”，所有人都凝神静气地躲了起来，狮子没有找到猎物就准备撤离了，先出来了一只狮子，然后是两只、三只，所有人都仍然躲着，因为还有狮子没有出来。然而，当第四只狮子出来之后，有一群人跳了出来，往洞穴中走去……结果可想而知！也就是说，早期部落中，那些不能区分数量多与少的“人”都很快死掉了，幸存下来的都是最早的“数学天才”，而且，他们的后代也通过基因遗传获得了这种“天分”。不过，最初的时候，“我们”能够区分的数量不能超过十个，这没有什么其它原因，也许仅仅因为大家只有“十个手指”，“我们”习惯于“掰手指计数”，一旦物体超过手指的数量，“我们”也就没办法了。
“我们”之所以暂时还不急于发明新的计数方法，是因为有时并不需要确切地知道事物的“具体数量”，例如：“我们”最初学会牧羊的时候，羊群的数量很大，但是，“我们”并不关心具体有多少只羊，而只关心太阳升起时放出去的羊在太阳落山时是否全都回来了。所以，“我们”就准备一堆小石子放在“羊圈”门口的右侧，每天早上，出来一只羊，“我们”就拿一粒小石子放在门口的左边，当右边的石子全都拿到左边时，就证明羊圈里的羊全都出来了；到了晚上，吃饱了的羊全都回来了，每进圈一只羊，“我们”就拿一粒小石子放到右边，如果左边的石子全都被拿到右边了，就说明羊全都回来了，否则就说明有些羊走失了，或者被其它野兽吃掉了。是的，那段时期，“羊有没有全都回来”是一个更加重要的问题，“到底有多少只羊”反倒次要一些，所以，“我们”首先发明了“一一对应”的“前计数”方法（“一一对应”用来“计数”，的确颇为“初级”，但也正因为如此，它离人类的本源存在更加切近一点，在土壤中的根须也就扎得更深一点，所以，它在后续构建“数学大厦”的过程中，发挥了“基础性原理”的功效）；不过，随后部落人口的增加，分工协作、猎物和粮食的清点等越来越复杂的问题都对计数提出了更高的要求，“我们”需要继续往前走！
终于，在一个看似平常的晚上，部落的收获非常丰厚，可是，暂时吃不完的猎物不能全部留给“首领”啊（因为首领也吃不完，猎物就会腐烂变质），如果要把剩余的猎物分给大家，就需要知道“猎物的多少”，这可真把大家难为坏了！正当大家一筹莫展的时候，最聪明的首领发话了：我今天正好带回了一根长长的葛藤，本想用它做一条牧羊的鞭子，不过，我现在突然有了一个新想法：我们数一个猎物，就在葛藤上打一个“结”，最后，“结”的数量就正好是猎物的数量！想不到吧，“我们”就是这样学会了“结绳计数”的。再后来，需要计数的东西越来越多，需要大量的葛藤或者草绳，有时候，准备足够多的葛藤或草绳既不方便也无可能，这就“迫使”我们“发明”了更好的办法：同时悬挂好几根草绳，第一根草绳上的一个“结”表示“1个一”；攒够了“10个一”之后，就把第一根草绳上的“结”解开，而在第二根草绳上打一个“结”，表示“1个十”；攒够了“10个十”之后，就把第二根草绳上的“结”解开，而在第三根草绳上打一个“结”，表示“1个百”……如此以来，“我们”就创造发明了“十进位制”。
类似的，我们可以再想象一下几何学的起源问题。今天的现代人学习欧氏几何时，没有大小的“点”，没有粗细、可以向两端无限延伸的“直线”，没有厚薄、可以向四周无限延伸的“平面”，等等，都是无需证明的“自明之理”，但是，对于生活在几千甚至几万年以前的远古人类来说，这些“理”是怎样被创造出来的呢？又为何具有“自明”之性呢？在本书的第一章（P4），我曾经较为详细的论述了远古人类创造发明“平面”的过程，的确，“我们”完全可以在纯粹想象中构造完成点、线、面等具有公理特性的欧式几何的“原初定义”。
历史的“真相”也许是：“我们”在发明十进制计数法和点、线、面等欧氏几何“原初定义”的同时，也几乎同步创造了有关数的“运算”，以及在实际生产生活中的制作和测量“几何学”。不过，在今天的人类看来，这些就都是“文明时代”的事情了，所有的“功劳”几乎都归到毕达哥拉斯（们）和欧几里得（们）的身上；现代人之所以这么做，倒不是因为什么“历史真相”，而是源于他们稀奇古怪的秉性：既狂妄又自卑。一方面，宣告西方文明的源头是古希腊文明，算起来已有两千多年；而在中国，一般认为“文明”的年头几乎与西方相当；至于“三皇五帝”，几乎被视为荒诞离奇的神话故事；但是，另一方面，至于不懂欧氏几何的古埃及人到底是怎样铸造金字塔的，现代人根本搞不清楚，以至于怀疑是“外星人干的”；而古巴比伦文明也无非是个“传说”……之所以出现这种现象，完全是由于现代人所拥有的非常奇葩的“考古学”视角所决定的。龟壳、青铜器、竹简、泥板……这些残存的历史边角料几乎成为现代人“界定”文明的“唯一证据”；但是，一个显而易见的“事实”是：如果把从“在树上生活的猴子”到“文字的正式出现”这个阶段界定为第一阶段，而把从“文字出现”到当下的时代界定为第二阶段，前者无疑跨度更大，历史更悠久，而且，从思维、意识、语言和精神发展的层面讲，前者显然经历了更多的波澜壮阔、惊心动魄的伟大时刻！“史前文明”也许是个不错的提法（如果不带有歧义的话），它的确容易让人将其等同于“毫无证据”的东西，但是，所谓“证据”，无非是“科学实证主义”在文化历史学领域里的看似“合理”，但实则属于“非法”的“入侵”；人类依靠对未来的想象，以及由此而生成的意义而生活，这生活也许是更加真实的历史；所以，对于人类历史而言，“想象力和意义”与“考证”是完全不在同一个数量级上的概念，重视后者而无视前者，纯粹是本末倒置！一旦我们拥有了想象力和意义的新视角，史前文明就不再是僵死的“木乃伊”，而是一幅活泼泼的生活画卷；现代人不可以用一种判断命题之真假的科学逻辑思维去无端地评判它，而要用丰富的想象力和意义驱动的方式去重新理解它、阐释它，并由此给予当代人之生存以重要的启示：人类怎样才能更好的存在于大地之上？创造数学、发明数学的真实目的也在于此。
南明教育旗下学校微信公众号
山西运城国际:yunchengguoji
新乡世青超前:shiqingchaoqian
山西运城新港:nanningxinggang
禹州慧润阶梯:huirunjieti1
徽州晨山学校: chenshan_school